AJEDREZ Y TRIGO, ¿QUÉ PUEDE SALIR MAL? - Mates

Hoy vamos a hablar de un problema muy famoso y a la par, curioso y muy molón.

Cuenta la leyenda que el creador del ajedrez, llamado Sessa, le enseñó su invento al rey de la India. Entonces, el rey quedó tan alucinado que dejó en manos de Sessa la recompensa que quería recibir. Él, quien era muy sabio, le dijo al rey que quería por la primera casilla, un grano de trigo; por el segundo, dos; por el tercero, cuatro... Y así constantemente, duplicando esa cantidad en cada casilla hasta llegar a la casilla número 64.
El rey aceptó, pero no sabía lo que se le venía encima.

Ahora llega nuestro momento, el de exprimir la resolución de este problema al mááááááximo.

RESOLUCIÓN RÁPIDA

Vemos claro que si por cada casilla, la cantidad se multiplica por dos, bastará con elevar 2 a la cantidad de casillas para conseguir la cantidad de la última casilla: 2^64 ≈ 18,5 trillones de granos de trigo.

Como muchos os habréis dado cuenta, esta potencia no da pie a que la casilla número 1 tenga un grano de arroz, sino 2. Porque todos sabemos que 2^1 = 2 y no a 1. Pero, 2^0 = 1 y no a 2. Pensando un poco podemos deducir que para ello, podemos elevar al total de casillas (64) menos una (63) para que la primera (será la 0) tenga un grano de trigo. Ahora sí, 2^63 = 9.223.372.036.854.775.808.

Perfecto, ya tenemos los granos de trigo de la casilla número 64 (o 63 en nuestra potencia). Pero el problema nos pide a mayores lo de las últimas 63 casillas. Menudo papelón pensaréis algunos. 

Vamos a pensar un poco. Si comenzamos con las primeras potencias de base 2...

2^0 = 1

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16

...

Si pensamos, vemos que la suma de todas las potencias de base 2 de, en este caso, exponente de 0 a 3 (1 + 2 + 4 + 8 + 16), es igual a la potencia de base 2 con exponente uno mayor que el mayor de este grupo.

Vamos a analizarlo:
2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

Vemos que la suma es 2^4 menos uno.

Entonces podemos saber la suma sin sumarlos, solamente haciendo 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15.

Sabiendo esto, podemos deducir que la suma de todas las potencias con base 2 y exponente desde 0 hasta 62, será la 2^63 - 1. Así que, calculemos pues:

granosTrigo = 2^63 + (2^63 - 1) = 2^63 * 2 - 1 = 9.223.372.036.854.775.808 * 2 - 1 = 18.446.744.073.709.551.616 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo.

Entonces, el total de granos de trigo que el rey ha de otorgar a Sessa es de unos 18 trillones y medio aproximadamente.

PERO... ¿Y CUÁNTO TARDA EN CRECER ESTO?

En la India según este estudio (https://es.statista.com/estadisticas/634804/principales-paises-productores-de-trigo-en-el-mundo/#:~:text=Los%20diez%20mayores%20productores%20de%20trigo%20a%20nivel%20mundial%20en%202019&text=En%202019%2C%20China%20fue%20el,alrededor%20de%20103%2C5%20millones.), se producen 103 millones de toneladas de trigo anuales.

Según el conversor de unidades de Google, cada tonelada de trigo equivale a, aproximadamente, 15,4 millones de granos de trigo. Si multiplicamos esta cantidad por los 103 millones de toneladas, nos sale que anualmente, se producen en la India, aproximadamente, 1 trillón y medio de granos de trigo.

Entonces, ¿Cuánto se tardará en la India en producir los 18 trillones y medio de granos de trigo?

Dividimos 18,5 / 1,5 (hablamos de trillones) = 12 y 1/3.

Es decir, si el rey diera a Sessa toda la producción de granos de trigo de la India, tardaría 12 años y un tercio en otorgarle todos los granos de trigo que le ha pedido.

¿A que parece alucinante?

Pues esto no ha hecho más que empezar, y podremos próximamente automatizar la resolución de este problema mediante Python o mostrar la función exponencial en Geogebra entre otras cosas como ver alguna demostración real de ello.

¿No quieres perdértelo? Sígueme en mi Twitter para enterarte cuando suba la segunda parte: https://twitter.com/tecnomagia22